研究报告全文：非标理财产品的理论定价与风险管理陈锐一理财产品概述1非标与标准化理财产品近年来理财产品市场作为各商业银行的重点开拓对象各商业银行都加大理财产品创新的步伐争夺市场国内理财产品市场规模迅猛增长其对投资者的吸引力也日益增长长期以来商业银行的理财产品大多投资于债券然而相较于固定收益类理财产品投资者有更高的收益要求因此非标准化理财产品收到投资者更多青睐投资于非标准化债权资产权益等标的的理财产品逐渐丰富也多有资管产品嵌套投资的现象存在基于理财产品分类存在空白和多重分类且多层嵌套非标准化资产可能带来更大的风险监管部门出台了多项规定和建议自中国银监会关于规范商业银行理财业务投资运作有关问题的通知银监发20138号一文起有了对标准化与非标准化资产的明确定义2018年关于规范金融机构资产管理业务的指导意见以下简称资管新规及2020年标准化债权类资产认定规则以下简称认定规则进一步明确了标与非标的范围这些监管规定不仅对理财产品的投资标的进行了明确分类也规范了资管行业发展根据银行业理财登记托管中心数据非标理财业务降至2020年的1089投资于债券的理财产品占所有非保本理财产品的6426比例进一步提升目前资管过渡期已经结束在各项资管规定下债券仍是并将持续作为理财产-1-品重点配置的资产资料来源银行业理财登记托管中心图1银行非保本理财产品资产配置情况2理财产品分类从挂钩标的而言根据挂钩资产的不同可以将理财产品分为标准化理财产品和非标准化理财产品广义的非标准化理财产品可以分为挂钩非标准化债权资产非标准化股权资产挂钩其他资产的非标理财产品从狭义的定义来讲非标准化理财产品即为挂钩非标准化债权资产的非标准化理财产品其中对于标准化债权资产与非标准化债权资产的划分在标准化债权类资产认定规则中标准化债权资产定义为债券资产支持证券等固定收益产品除去非标除外资产存款包括大额存单以及债券逆回购同业拆借等形成的资产标以外的资产则全部属于非标这一划分使得非非标产品纳入了监管范围避免了监管空白同时也防止定义重叠具有实质性意义-2-资料来源央行标准化债权资产认定规则图2理财产品标的分类从理论定价的角度由于理财产品的条款设计往往比较复杂其挂钩标的挂钩方式不尽相同因此产品的理论定价方法与风控原理成为加强产品监管时十分重要的问题对此本文将理财产品分为固定收益部分和衍生合约部分在衍生合约部分由挂钩资产数量划分为挂钩单资产挂钩多资产产品对于挂钩单资产的理财产品而言根据挂钩资产性质一部分产品与利率汇率相挂钩对此阐述几种常见的利率期限结构理论并简要说明其优缺点另一部分产品与股票股指挂钩此类产品应当以Black-Scholes期权定价模型为基础以模型假设的改进期权种类的变化为条件推导出定价公式的解析式对于挂钩多资产的理财产品除运用B-S公式外还应考虑资产之间的相关性目前常用的数值方法有Copula函数等然而目前国内现有的理财产品特别是非标准化产品的条款设计并-3-没有特别复杂鲜有涉及彩虹期权等挂钩多资产标的的期权确定定价模型也是确定风险管理方法的过程一方面根据挂钩标的价格拟合的分布可以相应地应用VAR模型计算在险价值从而概括金融机构的市场风险VaR模型测量风险更加明了统一了风险计量标准且可以事前计算对于确定必要资本和提供监管提供了必要且更为简洁的依据二挂钩单资产理财产品定价1挂钩单资产理财产品划分理财产品种类繁多设计条款复杂在理论定价和风险管理方面很难得出通用的解析式因此在产品的理论定价与风险管理中通常将复杂的非标产品分解为固定收益部分和衍生合约部分将两部分各自定价固定收益部分的定价较为简单目前标准化债权类资产理论定价已有明确的解析解而在衍生合约部分根据挂钩标的的数量可以将其划分为挂钩单资产挂钩多资产的非标产品根据挂钩资产数量类型推导并应用不同的模型进而使用各类数值方法计算得出衍生合约部分的价格和波动情况单资产是指挂钩标的为单一资产或单一指数资产根据挂钩标的类型此类产品的衍生合约部分又可以分为两类一是挂钩利率汇率类单资产二是挂钩股票股指类单资产对于前者通常在利率期限结构理论的基础上建立定价模型而对于后者通常采用Black-Scholes及其改进后的模型进行理论定价2运用利率期限结构的理论定价根据不同挂钩资产所需的不同利率期限利率期限结构模型-4-大致可以分为三大类Nelson-Siegel系列模型仿射利率期限结构模型和Heath-Jarrow-Morton远期利率模型1Nelson-Siegle系列模型NelsonandSiegel1987NelsonandSiegel1987引入了一个简洁的计量模型来分析利率的期限结构1其中表示到期1期限2为e3e的t时刻的瞬时远期利率系数分别为水平因子T斜t率因子和曲率因子衰减系数控1制了2指数3的衰减率以及在何处达到其最大曲率载荷值当较大时将产生快速衰减并3且能更好地拟合短期利率曲线而当较小时将发生缓慢的衰减更好地拟合长期收益率曲线该模型非常灵活可以生成大多数金融市场中的利率期限结构较好地拟合各种利率曲线参见DieboldandLi2006VicenteandTabak2008和YuandSalyards2009根据式1可以推导出Nelson-Siegel模型中对应的零息即期利率为2ytT11y其中1表示2到期期限为3的t时刻零息即期利率固定时y的tT三个因子载荷为1Tt如图111所示的载荷为1在极限时不会衰减至0可以被视作对期限结构影1响的长期因子的载荷快速地从1递减至0可以被视作对期限结构影响的短期2因子的载荷从0增加至其最大值然后相对缓慢地衰减至0可以被视3作对期限结构影响的中期因-5-子此模型中仅有三个因子极大的简化了模型的估计难度此外在实证中该模型可以生成大多数类型的收益率曲线并且能够拟合各个不同国家的收益率曲线鉴于上述两个优点Nelson-Siegel系列利率期限结构模型被众多金融机构采用根据国际清算银行BankforInternationalSettlements2005的数据全球13个主要国家央行中就有9家使用Nelson-Siegel模型或者其扩展模型来估算本国的国债收益率曲线Nelson-Siegel模型的扩展自建立Nelson-Siegel模型以来通过改变其参数的数量或使用不同的方程学者们对Nelson-Siegel系列模型进行了广泛的研究例如两因子Nelson-Siegel模型DieboldPiazzesiandRudebusch2005三因子Nelson-Siegel模型Bliss1996和四因子Nelson-Siegel模型Svensson1994BjrkandChristensen1999Svensson1994提出了一个四因子Nelson-Siegel模型该模型在经典Nelson-Siegel框架中加入了一个额外的曲率因子3112其中1表示2e到期期限3为1e的42te时刻瞬时远期利率参数可以被解释T为水t平因子斜率因子第一曲率因1子和2第二3曲率4因子新增的第四个曲率因子增加了模型的灵活性可以更好地进行样本内拟合Svensson1994展示了该扩展模型能更好地拟合相应收益率曲线特别是当利率期-6-限结构波动幅度较大的时段例如瑞典市场1992年至1994年的远期利率数据对瞬时远期利率求积分即可得到对应的即期利率11y111y121314212指数衰减4率以2及曲率的最大值由两个不同的控制从而使模型样本内的拟合更加灵活无需选择偏重拟合短端利率还是长端利率该模型可以为两个选择合适的值进行更好的拟合与NelsonandSiegel1987类似的载荷可以被视为长期因子载荷的载荷可以被视为短期因子1载荷和都可以被视为中期因子2载荷34通过放松斜率因子和曲率因子载荷默认由相同的值来控制的限制Bliss1997扩展了Nelson-Siegel模型512其中1和2e3分2别e表示瞬时远期利率水平因子斜率因子和曲率1因子2是3控制斜率载荷的衰减参数是控制曲率载荷衰减参数同时1决定曲率载荷的最大值该模型2瞬时远期利率对应的即期利率为61ytT2112yBliss认为1通过2引入1不同的衰3减参2数使该模型相比经典的Nelson-Siegel模型更具有灵活性当然若时Bliss模型与经典的Nelson-Siegel模型相同12BjorkandChristensen1999在Nelson-Siegel模型中引入了第二个斜率因子进而提出了四因子Nelson-Siegel模型-7-7112其中1是瞬2e时远期利3率1e4e分别为水平因子第一斜率因子曲率因子和1第二2斜率3因子4因子载荷的衰减速率由和共同决定对瞬时远期利率积分后其对应的即期利率为1281121111y由公式182可知1即期利3率收1益率曲线的斜率4因子2由和共同决定而不是仅仅依赖于Bjork2andCh4ristensen1999与Svensson1994相似采2用不同的值使模型能够更灵活地拟合收益率曲线DieboldRudebuschandAruoba2006的实证结果表明使用1972年1月至2000年12月的美国国债收益率Bjork和Christensen扩展的Nelson-Siegel模型在均方根误差方面比经典Nelson-Siegel模型具有更好的拟合能力除了对参数个数的考虑之外传统的Nelson-Siegel模型有一个重要假设是模型参数的非时变性这个假设虽然简化了参数估计的过程但是对模型在时间序列上的拟合有相当不利的影响为了解决这个问题DieboldandLi2006提出动态Nelson-Siegel模型该模型由一个测量方程和一个转换方程构成910其中是表示t时I刻即期利率的1N1列向量包含N个不同的到期时间矩阵H是因子载荷矩阵时变因子是表示t-8-时刻因子值的K1列向量矩阵是KK的单位矩阵是K个因子的长期均值矩阵是KKI的转移矩阵该模型通过引入时变参数将截面内数据拟合与时间序列建模分开极大的提升了模型对利率时序变化的预测能力DieboldandLi2006的实证结果表明动态Nelson-Siegel模型不仅提供了良好的样本内拟合还可以相对准确的预测未来的利率变化特别是中长期的利率预测动态Nelson-Siegel模型采用两步估计方法虽然相比传统Nelson-Siegel模型复杂一些但是两步回归都是简单的最小二乘所以整体的估计过程还是非常简单的基于简单的估计方法和对数据的良好拟合动态Nelson-Siegel模型被应用在很多不同的数据集例如日本德国和英国市场的国债券利率曲线DieboldLiandYue2008美国市场的公司债利率曲线YuandSalyards2009巴西市场的国债利率曲线VicenteandTabak2008和中国市场的国债利率曲线LuoHanandZhang2012近年来也有不少学者关注估参方法改进例如在时序模型的估计上引入自适应回归算法ChenandNiu2014动态Nelson-Siegel模型能够较好地预测未来利率波动但它一直存在一个理论上的缺陷Nelson-Siegel模型并不是基于无套利框架提出的那么类似的Nelson-Siegel系列模型拟合的利率曲线并不能排除套利机会参见Filipovic1999DieboldPiazzesiandRudebusch2005和Krippner2006不满足无套利条件对于未来利率波动的预测并没有很大的影响-9-但是无法将Nelson-Siegel系列模型应用于利率类衍生品的定价与对冲为了解决这个问题ChristensenDieboldandRudebusch2009和ChristensenDieboldandRudebusch2011通过增加一个带限制的截距项将Nelson-Siegel模型推导成一类特殊形式的仿射利率期限结构模型进而使调整过后的Nelson-Siegel模型符合无套利条件11112131y其中和与和相对应该模型与123Nelson-Siegel模型的因子载荷1结构2完全匹3配但为了满足无套利条件模型中额外引入一个收益率调整项仿射无套利Nelson-Siegel模型的瞬时远期利率可以写成如下形式12123此类Nelson-Siegeel模型兼具e仿射利率期限结构模型和动态Nelson-Siegel模型的优点并且能够应用在利率类衍生品的定价与对冲中2仿射利率期限结构模型其通常也被称为短期利率模型主要研究短期利率的动态变化该类模型最初由Vasicek1977和CoxIngersollandRoss1985提出DuffieandKan1996和DaiandSingleton2000总结了该类模型的各种形式并对模型的解析解解法和模型估计进行了广泛的分析仿射利率期限结构模型在仿射利率期限结构模型中在时间T到期的债券价格1由于因子不再使用离散时间序列模型而是使用随机过程来描述所以标识符号也做了相应的调整-10-PtT由简单的指数线性仿射方程给出13P其t中TAteT和BtT是关于到期时间利率水平和利率波动性的函数Xt满足随机微分方程一般具有均值回归性质模型进一步假设状态变量Xt遵循马尔可夫过程并且满足以下随机微分方程14d其X中是一个KK协方差矩阵dWt是一个K维维纳t过X程t公式1t5X和t16共同构建了仿射利率期限结构模型框架然后根据无套利原理和伊藤引理即可以推导出无套利零息债券价格的随机过程dPtTPtT12115根据伊藤引理若市场无套利则必须存在风险中性测度以保证零息债券价格PtT是一个鞅过程16其中是无风险利率零息债券价格PtT在测度下是一个鞅过程鞅过程意味着利息债券价格随机过程的漂移项等于无风险利率也即是A171210-11-公式19提供了AtTBtT和之间的约束关系当然满足上述关系的AtTBtT和可能存在多种解析解的形式DuffieandKan1996和DaiandSingleton2000进一步分析了保证AtT和BtT存在且有解情况下和需要遵循的条件至此零息债券价格计算的问题就转换为常微分方程系的求解问题并可参考数学的相关文献仿射利率期限结构模型有许多优点例如具有符合利率实际波动的均值回归因子可以便捷的引入随机波动率以及利息债券价格的解析解且大部分仿射利率期限结构模型框架下都可以推导出利率类衍生产品的解析解该模型的这些优点极大地促进了仿射利率期限结构模型的研究如ChanKarolyiLongstaffandSanders1992ChenandScott1992DuanandSimonato1993LongstaffandSchwartz1993BrownandSchaefer1994DuffieandSingleton1997DuanandSimonato1999DaiandSingleton2000DuffeeandStanton2012短期利率模型Vasicek1977的模型框架被认为是最早的动态利率期限结构模型之一其假设在真实测度上短期利率可以被表示成一个均值回归的随机过程18其中和是常数分别对应均值回归速度利率长期均值和利率长期波动率Vasicek模型最主要的特点是均值回归-12-均值回归意味着利率总是倾向于回归到长期均衡水平这一属性得到了经济理论和实证数据的支持Vacicek模型可以得到解析解19r由公式22可以推导1的均值和方差的条件分布为20r21212该模型的主要缺2点1是由于假设未来利率分布为正态短期利率有正概率取到负值但是如果没有正态分布假设Vasicek利率r模型也会失去易分析处理的优势参见BrigoandMercurio2007Vasicek模型的零息债券价格由公式15给出其中和由下式给出22AtTBt2T22242231为了解决Vasicek1模型中利率可能为负的情况CoxIngersollandRoss1985在其模型框架的扩散系数中引入利率的平方根来克服了负利率问题由于CIR模型能够避免利率为负的情况同时类似Vasicek模型可以给出零息债券价格的解析解它多年以来一直被作为仿射利率期限结构模型的基准模型CIR模型短期利率的随机微分方程由下式给出24其中dr和是常数分别对应均值回归速度利率长期均值和利率长期波动率为了防止出现利率为负的情况CIR模型还需要满足以下条件-13-252CIR模型的短2期利率分布为非中心卡方分布短期利率均值和方差的条件分布由下式给出26Er21227Varr22模型的零息债券价2格1由公式15给出其中和由下式给出AtTBtT222822AtTexp21292122DBotthTan19278提出了一种1漂移h项为零的几2何布朗运动来模拟现实测度下的利率动态其随机微分过程为30其中是常数表示d短期利率的长期波动率Dothan模型在风险中性测度下的随机微分方程可以相应的表示为31其中和是常dr数分别表示短期利率的漂移率和长期波动率公式a34实际上是RendlemanandBartter1980模型框架的连续时间版本由公式34可以解出短期利率32122对应的短期r利率均r值和方差的条件分布为33-14-E34222该模型V也a克r服了Vasicek模型利率可能为1正的主要缺点因为具有对数正态分布的短期利率总是为正的BrigoandMercurio2007指出当时Dothan模型只是一个均值回归的利率模型Dothan模型的0零息债券价格可以用解析形式给出但是零息债券价格并不能由公式15形式给出所以Dothan模型是一个短期利率模型但是并不包括在仿射利率期限结构框架之中Vasicek模型Dothan模型和CIR模型都属于非时变参数模型在实证中对利率的初始期限结构拟合相对较差参见HoandLee1986与HullandWhite1990为了解决上述问题HullandWhite1990在Vasicek模型的基础上引入时变参数以期能够更准确的拟合收益率曲线HW模型中短期利率的随机微分方程为35其中t和dt是与时间相关的函数分别表示短期利率在t时刻的长期均值均值回归速度以及长期波动率引入三个时变参数能够极大的提升模型对当前利率曲线的拟合但是过度拟合可能会带来完全相反的结果参见HullandWhite1995为了在适度或过度样本内拟合中平衡HullandWhite1994提出了一个略微不同的模型框架36其中和是常数d分别表示短期利率的均值回归速度和长期波动率是与时间相关的函数便是短期利率在时间t的长期-15-均值将公式36积分3738r222其中021是到期时间为t的瞬时远期利率0由此HW模f型0中t短期利率的均值和方差的条件期望可以推导为39E4022模型的零息债券r价格2由1公式15给出其中和由下式给出AtTBtT4120220AtT410421HullandWhitBet模T型通过1引入时变参数t来提供对利率曲线的精确拟合同时短期利率的高斯分布也能够推导出零息债券价格的解析解当然与Vasicek模型类似短期利率的高斯分布隐含着模型有正概率取到负利率表2总结了上述四种模型的大致情况包括短期利率的随机过程和模型短期利率是否能取值为负表2短期利率模型简述模型动态过程r0VasicekNoCIRdrYes-16-drDothaYesHWdrNodr仿射过程的条件特征函数一般都能够得出解析形式因此该类函数可以对奇异利率类衍生品定价很多学者也大量地研究了仿射利率期限结构模型对标准化利率类衍生品的定价与对冲例如Chen1996在单因子仿射模型中增加一个带随机波动的均值回归因子使得模型可以对债券期权以及更复杂的债券衍生品定价Munk1999通过引入随机持续期方法将欧式附息债券期权的价格由一组欧式零息债券期权组合给出SingletonandUmantsev2002用一种快速数值解法为欧式附息债券期权提供了一个半解析解该方法与DuffiePanandSingleton2000中用来对欧式零息债券期权定价的傅里叶反变换方法思路相同Collin-DufresneandGoldstein2002提出了对附息债券收益率密度的埃奇沃思展开式然后近似地为互换期权定价其矩由相关零息债券的联合矩计算得到SchragerandPelser2006基于近似掉期利率动态变化的仿射结构在欧式附息债券期权定价的速度和准确性方面进行了扩展研究这篇文章使用的估计方法与Munk1999中的类似Heath-Jarrow-MortonHJM模型HeathJarrowandMorton1992推导了利率期限结构模型的无套利条件最早的相关文献来自Richard1978HJM模型最大的贡献是构建了一个大一统的框架可以用来给利率类衍生品定价选择瞬时远期利率作为建模对象HJM模型隐含着对-17-当前利率期限结构的完美拟合这是HJM模型与仿射利率期限结构模型的显著区别之一3运用Black-Scholes模型进行理论定价1Black-Scholes期权定价理论基于Black-Scholes模型的期权定价理论及其衍生模型构成了期权定价的主流理论BlackandScholes1973提出如下假设1短期利率固定不变2股票价格服从一个连续的随机过程3股票收益的波动率固定不变4股票不支付红利5没有交易成本6期权是欧式期权7能够以短期利率借贷8卖空不受限制在此基础上构建一个完全对冲股票价格波动风险的组合时间后由于组合是无风险的该组合的收益率也应该等1于无风险利率即431221121其中2是期权价格对股票价格和时间1的偏导数简单整理公式16之2后可得微分方程44122根据期权的定义2结合期权价1格边2界条件11求解微分方程44即可推导得出期权价格45通过上述的假设可以推导1出欧c式期权价格2的解析解然而一方面对于欧式期权原始模型中关于波动率股票价格波动以及无风险利率的假设都与实际情况有相当的出入另一方面对于奇异期权其理论价格还需要在B-S公式的基础上做进一步的推导对于这两方面的改进顺其自然的成为期权定价的主要方-18-向2对于B-S不合理假设改进的后续研究基于固定波动率假设的改进对于波动率固定不变的假设目前学术界采用三种方式对其进行修正时变波动率模型价变波动率模型和随机波动率模型Mertonetal1973首次将时变波动率引入期权定价模型他将波动率定义为随时间变化的一个函数4612在保持Black-Scholes模型其他条件不变的情况下他们得出了修正后的期权定价参数12472121248222但是引入时变波动率假设的模型并不能推导出现实中存在的波动率微笑现象也无法解释Black1976所发现的波动率与股票价格存在负相关关系的现象因此价变波动率模型应运而生价变波动率指波动率由股票价格与时间同时决定股票价格服从随机过程其中S为股票价格t为时间Cox1975他们提出的固定波动率弹性模型ConstantElasticityVolatilityCEV将波动率定义为1其中an为常数n决定了股票价格对波动率的影响程度CoxandRoss1976则在CEV模型的基础上提出了平方根模型在-19-股票价格服从随机过程情况下平方根可以得到期权价格的解析解2112014912210112其中是Gamma分布函数Schroder1989将去中心化的卡方分布运用到基于的CEV模型中22Loetal2000则将时间因素引入到CEV模型中在期权价格受时间因素影响的情况下他们得到了有关期权价格的偏微分方程2122250通过求解方程可以得到期权价格的数值解exp00101121ex2p00112151其中z是参数是Gamma分布函数Brigo2000认为股票价格服从随机过程这启发学者将混合波动率分布加入到期权定价模型中BrigoandMercurio2002推导出股票价格服从随机过程情况下的期权定价模型Brigoetal2003和Brigoetal2004则在此基础上进一步发展了波动率混合分布模型-20-