◆个人养老金制度落地
　　“老龄化”和“少子化”成为我国现阶段人口年龄结构的主要特征，构建多层次养老保障体系成为“老有所养”的重要组成部分。在此背景下，我国养老第三支柱——个人养老金制度终于在2022年末落地。《个人养老金实施办法》规定，参加人每年缴纳个人养老金额度上限为12000元，实行个人账户制，缴费完全由参加人个人承担，自主选择购买符合规定的储蓄存款、理财产品、商业养老保险、公募基金等金融产品。
　　在美国，目标日期基金正在迅速成为固定缴存模式下的主战产品。曾在六年中,目标日期基金的资产增长了五倍多,从2005年底的710亿美元增长到2011年底的3780亿美元。在最新的研究中,Vanguard报告称,82%的退休计划提供目标日期基金,其中近四分之一的参与者只投资于目标日期基金。可见目标日期基金在个人养老金产品中的核心地位。
　　◆目标日期基金简介
　　目标日期基金与普通基金最大的区别有两点，一是目标日期基金有定期的缴存资金进入产品；二是产品期限长，需要到期才能取出资金。所以目标日期基金的目标是期末的财富最大化，我们需要找到一种资产配置的动态轨迹，使得期末的组合效用最大化。
　　该框架与传统的资产配置模型最大的区别是，其理论基础是随机微积分，和均值方差下的二次规划显著不同，求解的复杂度高出很多，需要用到动态规划中HJB等式等理论。
　　◆下滑曲线
　　所谓下滑曲线，指的是目标日期基金的权益仓位随着到期日的临近，逐步下降，呈现下滑趋势。它是动态资产配置模型的结论，实际投资中需要根据这个大的资产配置框架定期调整权益资产仓位。下滑是因为初期权益仓位高，越往后仓位越低，对于下滑形态的解释，很多文献都有偏误，认为年轻时期风险偏好高，所以超配风险资产。模型显示，在风险偏好恒定的假设下，只要未来缴存资金不为零，就会出现下滑；否则不会出现下滑，权益仓位的比例为常数，这个常数在金融中叫做Merton比例（Merton ratio）。
　　◆下滑曲线影响因素
　　模拟计算中缴存基数参数按照《个人养老金实施办法》的上限要求，设置为12000元，缴存资金每年上浮的金额，我们暂时设置为500元，期限设置为50年，股票预期收益设定为12%，波动设置为28%，债券收益率设置为3.5%，在这个情况下，Merton比例为27%，下滑曲线见左边栏图。下滑曲线会受各个参数影响，股票预期收益越高、风险厌恶参数越大、股票波动越小都会带来权益仓位更高的下滑曲线，反之下滑曲线左移。
　　

研究报告全文：证券研究报告金融工程报告2023年1月11日养老目标日期基金动态资产配置与下滑曲线Merton模型分析师包赞报告摘要电话18017505196个人养老金制度落地执业编号S0740522070001老龄化和少子化成为我国现阶段人口年龄结构的主要特征构建多层次养老保障Emailbaozan01ztscomcn体系成为老有所养的重要组成部分在此背景下我国养老第三支柱个人养老金制度终于在2022年末落地个人养老金实施办法规定参加人每年缴纳个人养老金额度上限为12000元实行个人账户制缴费完全由参加人个人承担自主选择购买符合规定的储蓄存款理财产品商业养老保险公募基金等金融产品在美国目标日期基金正在迅速成为固定缴存模式下的主战产品曾在六年中目标日期基金的资产增长了五倍多从2005年底的710亿美元增长到2011年底的3780亿美元在最新的研究中Vanguard报告称82的退休计划提供目标日期基金其中近四分之一的参与者只投资于目标日期基金可见目标日期基金在个人养老金产品中的核心地位目标日期基金简介目标日期基金与普通基金最大的区别有两点一是目标日期基金有定期的缴存资金进入产品二是产品期限长需要到期才能取出资金所以目标日期基金的目标是期末的财富最大化我们需要找到一种资产配置的动态轨迹使得期末的组合效用最大化其框架大致如下aargmaxXttTdBddXStttTptdtst-aatt1XSttBXtTt该框架与传统的资产配置模型最大的区别是其理论基础是随机微积分和均值方差下的二次规划显著不同求解的复杂度高出很多需要用到动态规划中HJB等式等理论下滑曲线所谓下滑曲线指的是目标日期基金的权益仓位随着到期日的临近逐步下降呈现下滑趋势它是动态资产配置模型的结论实际投资中需要根据这个大的资产配置框架定期调整权益资产仓位下滑是因为初期权益仓位高越往后仓位越低对于下滑形态的解释很多文献都有偏误认为年轻时期风险偏好高所以超配风险资产模型显示在风险偏好恒定的假设下只要未来缴存资金不为零就会出现下滑否则不会出现下滑权益仓位的比例风险提示本报告结论完全基于公开的为常数这个常数在金融中叫做Merton比例Mertonratio历史数据进行统计测算文中部分数据有一定滞后性同时存在第三方数据提供不准确风险模型均基于历史数据得到的统计结论且模型自身具有一定局下滑曲线影响因素限性并不能完全准确地刻画现实环境以及预测未来模型根据历史规律总结模拟计算中缴存基数参数按照个人养老金实施办法的上限要求设置为12000元缴历史规律可能失效模型结论基于统计工具得到在极端情形下或存在解释力存资金每年上浮的金额我们暂时设置为500元期限设置为50年股票预期收益设定为不足的风险因此其结果仅做分析参12波动设置为28债券收益率设置为35在这个情况下Merton比例为27下滑考本报告提到的任何基金产品不构成任何投资收益的保证或投资建议曲线见左边栏图下滑曲线会受各个参数影响股票预期收益越高风险厌恶参数越大股票波动越小都会带来权益仓位更高的下滑曲线反之下滑曲线左移123请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告正文目录1动态资产配置简介32目标日期基金43Merton模型理论74下滑曲线数值计算115总结17图表目录图1动态资产配置跨期迭代求解示意图3图2有效前沿与分离定理4图3目标日期基金权益资产占比动态轨迹5图4FidelityClearPath养老组合下滑曲线6图5下滑曲线13图6不同风险厌恶参数下滑曲线13图7不同股票收益率下滑曲线14图8不同缴存资金增量下滑曲线14图9不同缴存资金上限下的下滑曲线15图10不同债券收益的下滑曲线15图11不同股票波动率下的下滑曲线股票收益设置为00816表1不同参数下的Merton比例11表2下滑曲线计算参数设置12表3风险资产配置与年龄16223请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告1动态资产配置简介目标日期基金动态资产配置是组合优化问题中的一种比Markowitz均值方差组合优化问题更复杂更前沿均值方差问题用的是二次规划方法动态资产配置用到的方法是马尔可夫决策过程MDP由于该领域被不同领域和背景的学者都有研究叫法很多样叫动态规划随机最优控制强化学习动态资产配置的都有它们都是MDP的变种描述的都是同一个问题HarryMarkowitz1952年发表在JF上的论文投资组合选择代表金融理论诞生首次在金融中引入了二次规划方法HarryMarkowitzWilliamSharpeandMertonMillerUChicagoBooth1990年获得诺贝尔经济学奖时候代表着这个学科已经走向成熟获得认可金融理论已经变得越来越数学化以至于金融问题正在推动数学研究均值方差框架minwwTxTstew1rxTm动态资产配置框架JWmaxuWWttT-1TtxsstefstWWxRRstssss111969年RobertMertonMITSLOAN发表了LifetimePortfolioSelectionUnderUncertaintyTheContinuous-TimeCase在这个文章中罗伯特默顿将随机微积分引入金融学的研究中1997年诺贝尔经济学奖他提出了另一种不受Markowitz均值-方差法静态性质影响的动态投资组合优化方法该方法研究的是资产比例的动态衍化与均值方差理论大为不同的是该框架目标函数是未来到期日的效用最大化更有现实意义不过这种倒向递归的优化问题不好求解很多时候没有解析解需要用到数值方法图1动态资产配置跨期迭代求解示意图资料来源中泰证券研究所323请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告2目标日期基金21分离定理与资产配置之谜1952年马科维茨提出了第一个投资组合优化的数学公式对于马科维茨来说投资者确实或应该希望获得预期回报而不想获得波动事实上Markowitz表明有效的投资组合是在给定风险水平下使预期收益最大化的投资组合Markowitz总结道不仅有一个最优投资组合还有一组被称为有效前沿的最优投资组合通过研究流动性偏好Tobin1958表明在存在无风险资产的情况下有效边界变为一条直线在这种情况下最优投资组合对应于无风险资产和一个特定有效投资组合的组合即切线投资组合Sharpe1964将Markowitz和Tobin的结果总结如下投资选择过程可分为两个阶段第一选择风险资产的最佳组合第二在这种组合和单一无风险资产之间进行资金分配这两步程序被称为分离定理Lintner1965他讲述的是资产配置的风险资产内部的比例是固定的对应于不同的风险偏好我们只需要调整无风险资产的占比分离定理对我们实战投资最大的指导就是仓位管理是控制风险的核心如果认为有风险或者可能有风险那么首先要做的就是降低风险资产的仓位寻找合适的时机再加仓图2有效前沿与分离定理资料来源中泰证券研究所在图1中我们展示了这些结果第一个小组代表了马科维茨在股票和债券之间的有效边界通过将最大夏普组合和无风险利率相结合我们获得了资本市场线在第二个图中我们展示了与风险厌恶参数的不同值相对应的最优投资组合的风险收益曲线激进的A投资者利用切线投资组合以承担更多风险并期望更好的业绩对于中等M风险厌恶投资者最优投资组合接近切线投资组合保守的C投资者将承担更少的风险因此他们将财423请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告富分配在切线投资组合风险资产和无风险资产之间现实投资中的做法与分离定理的做法差异很大第三个图展示的是我们业界的组合配置方法我们区分三种基金类型防御性平衡型和动态型它们之间的差异来自于股票和债券的相对比例这意味着在实战中风险投资组合的组成会根据投资者的风险厌恶程度而变化这种投资组合结构与分离定理相矛盾分离定理指出所有投资者的风险投资组合的内部构成应该是相同的不同的只是风险资产的仓位不同比如分离定理告诉我们股债比例永远是12只是股债加在一起的仓位不同高风险组合股占比30债占比60现金占比10低风险组合股占比10债占比20现金占比70这个悖论被称为资产配置之谜assetallocationpuzzle大量文献试图去解释这个悖论如果分离定理是最基本最正确的理论的话那另一个谜就是目标日期基金的资产配置目标日期基金的风险资产比例也不是固定的受投资者风险厌恶系数的影响在目标日期基金中风险资产的比例受到退休日期的影响年轻时候高风险资产的比例会更高年老时候高风险资产比例会大幅降低目标日期基金改变资产配置的动态轨迹被称为下滑曲线当然下面演示图中这个线是平滑的我们报告展示的Merton模型也是平滑的平滑是因为假设比较完美有解析解更接近现实的模型利用数值方法去计算的下滑曲线一般都不会像下图一样丝滑图3目标日期基金权益资产占比动态轨迹资料来源中泰证券研究所22美国目标日期基金的发展自21世纪初以来目标日期基金在欧美一直受到欢迎其中一个原因是从给付确定制definedbenefitDB向缴费确定制definedcontributionDC养老金计划的重大转变以及投资风险从投资机构转移到个人另一个原因与某些监管改革和税收优惠有关例如美国2006年养老金保护法要求养老金计划资金不足的公司向养老金福利担保公司支付更高的保费DB负债可能会为发起人带来巨额养老金成本并促使发起人推动DC养老金计划在此背景下目标日期基金遭遇高增长并不奇怪目标日期基金正在迅速成为固定缴存格局的一个固定特征在六年中目标日期基金的资产增长了五倍多从2005年底的710亿美元增长到2011年底的3780亿美元在最新523请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告的研究中Vanguard报告称82的退休计划提供目标日期基金其中近四分之一的参与者只投资于目标日期基金CaseyQuirk估计到2030年目标日期基金将获得所有定义贡献资产的一半以上这也是一个集中的行业因为根据晨星的报告三家资产管理公司富达先锋和TRowePrice持有78的目标日期共同基金之前的数据仅涉及开放的目标日期资产而不是退休系统中管理的整体目标日期资产InvestmentCompanyInstitute2012报告称截至2011年底美国退休资产为179万亿美元最大的组成部分是IRA49万亿美元DC计划45万亿美元和私人DB养老基金24万亿美元对于DC计划资产配置取决于参与者的年龄平均而言较年轻的参与者将其投资组合的较大部分分配给股票根据ICI和员工福利研究所EBRI进行的研究截至2010年底20多岁的个人将其资产的44投资于股票基金和公司股票37投资于目标日期基金和非目标日期平衡基金总而言之20多岁的参与者有74的401k资产是股票相比之下在2010年底60多岁的个人将其41的资产投资于股票基金和公司股票16投资于目标日期基金和非目标日期平衡基金总之60岁的参与者将其401k资产的49投资于股票投资公司协会2012年事实上目标日期基金分别占20多岁和60多岁个人DC计划资产的27和9因此这证实了目标日期基金对年轻参与者的吸引力23下滑曲线设计简介目标日期基金的一大挑战是下滑曲线的设计让我们以富达ClearPath退休投资组合为例在图4中我们使用富达网站上提供的模拟工具报告了40年后退休的加拿大个人的动态分配情况我们注意到股票债券和现金之间的分割是如何随时间演变的当我们接近退休日期时这种分配变得更加保守最开始股票占投资组合的80以上而50年后其权重仅为31债券分配在25年内增加然后稳定在30左右高收益资产类别的权重在7和5之间变化因此非常稳定现金比例从退休日前12年开始到最后占35其他目标日期基金下滑路径也呈现出类似的模式但目标日期基金之间的资产配置差异可能非常大例如Morningstar2012报告称如果目标年为2015年分别为2025年和2055年权益比例在20分别为38和85和78分别为86和100之间变化不同模型间差异这么大是相当令人惊讶我们下文的推导和计算也能看出来模型的设计和参数估计确实存在很多困难需要非常的谨慎对待每一个细节图4FidelityClearPath养老组合下滑曲线资料来源中泰证券研究所数据来源fidelitycaenproductsclearpath623请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告这些资产配置模型有很多流行的解释Quinn1991但大多数解释都没有经济意义Jagannathan和Kocherlakota1996因此学术研究可能有助于理解这一资产配置难题的原因默顿19691971的开创性工作是分析动态资产配置的通用框架大多数研究对默顿模型进行了一些延申例如Munk等人2004考虑了股票收益的均值回归特性和通货膨胀风险的不确定性通过用1951-2003年的美国历史数据校准他们的模型他们发现结果与长期投资者更多股票的投资建议一致这项研究证实了Brennan和Xia2002的结论即最优的股票债券组合取决于投资者的视野并强调了均值回归的影响尽管各种解释对理解目标日期基金的资产配置很有意思但它们不足以解释下滑路径的动态劳动收入通常是了解他们行为的关键因素下文公式推导也可以看到劳动收入的重要性本文通过考虑对目标日期基金进行随机永久性缴款在这种情况下我们发现最佳风险敞口的行为轨迹类似于行业中都在使用的下滑路径然而我们也注意到该解决方案对输入参数非常敏感如股票风险溢价贡献不确定性或股票债券相关性但最重要的因素是个人的情况投资者的风险规避程度退休日期和收入预期无疑是设计目标日期基金的关键因素我们的报告组织如下第三节介绍了基于默顿框架的理论模型由于我们假设利率和永久性缴款是随机的我们必须通过考虑数值分析来解决优化问题在第三节中我们分析了风险敞口的动态并定义了下滑路径然后根据我们的理论模型我们强调了目标日期基金设计的一些模式第五节分析了参数敏感性以及不同参数对下滑曲线的影响3Merton模型理论利用Merton1971模型模型考虑了随机的缴存变量这个变量是目标日期基金特有的和普通公募基金pt差异最大的地方普通公募基金中投资者在初始阶段投入一笔钱期望在三五年内获得最大收益在目标日期基金中投资者有一笔初始投入并且以后定期会不断投入新的资金进去期望获得期末退休的最大收益还有个最大的差异是投资期限TDF一般都是几十年期限31模型框架Merton模型框架如下在仅有股债的情况下我们期望获得每期股票权重的最优路径aargmaxXttTdBddXStttTptdtst-aatt1XSttBXtTt上面框架下面一行的是财富动态轨迹约束上面是目标日期效用给最大化目标Xt表示t期的财富St表示股票的市值at表示股票的占比pt表示t期新缴存的资金目标函数是期末T期财富带来的效用最大化新缴存的资金和未来收入相关我们假设未来收入也是随机过程用Q表示每期缴存的金额是收入的特定比例即ptttpQ723请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告我们假设股价债券价格未来收入都服从几何布朗运动随机微分方程为SdddSStSWttttttmsQdddQQtQWttttttqzBdddBrBtBWtTGttTtTtTt其中相关系数矩阵为1rrSQSBWWrr1dtttSQQBrr1SBQB32模型最优解用债券BtT作为计量单位引入XBtTXttT上面的自融资约束变为dXdStTtTptdtatXSBXtTtTtTtT具体推导在附录修改后的财富过程和收入过程为SdddXXpQtXBtTamttTtTttTasttTtTtQdddQQtQBtTqztTtTtTtTt可以求解得到2mmtT-G-trttTrsSBtGtTssG-G222rstTttTSBttTqq-G-r2rzGtTtttTQBttTzzG-G222rztTttTQBttTSQSQBt和Bt之间的相关系数为EBttBr可以求解823请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告rszrs-G-GGrz2SQttSBttTQBttTtTr1sztTtT定义价值函数为txqsupXQqXxtTtTtTa股票权重利用HJB方程可以求解为mrsztxqq2txqa-tTxtTtTxqt222xtxqstTx上述推导可见附录也可查阅相关文献33一些特殊情况下的最优解第一种特殊情况是假设未来不再有新的缴存资金pt0那么这时候目标日期基金也就是退化成了普通基金这时候最优权重为mtxtTxa-3txtxs22tTx进一步我们假设利率股票收益波动率都是常数就可以得到Merton1969的解m-rtxa-xt22sxtxx再进一步假设效用函数是常相对风险规避效用函数CRRAxgx1gg那么股票权重为923请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告m-raa4t1-gs2这个常数的股票配置比例通常被叫做莫顿比例Mertonratio如果考虑未来有固定缴存资金且Qt1即未来收入没有不确定的地方并且假设债券利率为0那么Merton比例为Tmpduuaat5t1-gs2x从这个地方可以看出来重要一点即股票配置比例受未来缴存资金的影响如果没有未来缴存资金股票配置比例为固定常数也就不存在所谓的下滑从5可以看出来正式有未来缴存资金的存在才有下滑曲线的出现我们通常对下滑曲线存在误解很多时候是认为年轻时候风险偏好高配置更高的风险资产事实上我们假定风险厌恶参数为固定常数并不随着年轻改变下滑的出现是因为有未来缴存资金34下滑曲线的更一般形式令mXtt如果pt不是随机的那么有dddmmtttttamptTammtdddampupttutt如果未来缴存基金随时间上涨服从ptatb可以得到T12ddmmtaubuatbtamamdtt2t1--ammtddamaT22tbTtatbtt2解出来得到1111amt22mxet0amaTbTt-amatbtt-atbt2622代入到之前的股票占比轨迹1023请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告Tmpduuaatt1-gs2x即可得到下滑曲线公式m122aT-tbT-t2gat21-gsmtm122aT-tbT-tm-r2221--gs1gsmt4下滑曲线数值计算41Merton比例计算我们首先计算未来缴存为零情况下的Mertonratiom-raat1-gs2表1不同参数下的Merton比例股票债券股票风险MertonRatio序号收益率收益率波动率厌恶系数mrsga1123528-327102153525-3463163525-3504203525-366583525-224资料来源中泰证券研究所未来缴存为零情况下股票权重为常数并不存在所谓的下滑曲线可见造成下滑的主要原因是未来缴存资金的存在并不是所谓风险偏好的改变年轻时候股票权重大不是因为风险偏好高因为我们模型假设投资者的风险偏好是常数不变的我们常规时候对下滑曲线的理解存在一定偏差1123请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告42下滑曲线计算再来计算更一般情况下的下滑曲线m122aT-tbT-t2gat21-gsmt122maT-tbT-tm-r2221--gs1gsmt其中1111amt22mxet0amaTbTt-amatbtt-atbt2622这里面变量的意义还需要再说明下x0是账户初始财富我们设置为200000元b是缴存基数按照个人养老金实施办法的上限要求设置为12000元a为缴存资金每年上浮的金额我们暂时设置为500元期限设置为50年即T为50其余变量的含义和上文描述的相同参考Merton比例计算的表格我们这个地方主要是探索下滑曲线的形态以及参数敏感性以便深度理解下滑曲线关于模型中每个参数的具体估计我们在系列二继续描述这里我们参数按照经验设置具体参数估计也是很复杂的过程需要后续报告深度仔细探讨表2下滑曲线计算参数设置股票债券股票风险厌初始缴存缴存金期限收益率收益率波动率恶系数财富金额额增幅mgTrsx0ba50123528-320000012000500资料来源中泰证券研究所1223请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告下图就是按照上表格经验参数用R语言画出的下滑曲线50年期限下前面七年都是股票满仓随后股票权重逐年下降最后收敛到Merton比例即2710图5下滑曲线资料来源中泰证券研究所我们下文再探究不同参数的改变所带来的下滑曲线的变化方便我们理解下滑曲线并且能够看出模型的参数敏感性我们首先观察风险厌恶系数变化带来下滑曲线的改变从左到右分别是其它参数不变下风险厌恶系数逐步提高的结果可以看出风险偏好越高股票仓位越高这个符合直观理解图6不同风险厌恶参数下滑曲线资料来源中泰证券研究所1323请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告下图展示的是其它参数不变情况下股票预期收益改变的结果从左到右股票收益越来越高股票仓位也越来越高意味着股票预期收益越高在权益上的配置比例越大在期末三条线没有收敛到一起是因为股票收益的改变会带来Merton比例的改变图7不同股票收益率下滑曲线资料来源中泰证券研究所下图展示的是缴存资金每年的增幅变化带来的下滑曲线的变化这个图与前两个最大的不同就是期末三个参数的线收到一起这个因为Merton比例里面没有缴存增量资金的参数所以该参数的改变并不影响期末的资产配置只影响到中间的过程我们假设三个参数5008001000即第一年后每年缴存12500元12800元13000元以后每年递增第二年后就是130001360014000从图可以看出来缴存的越多前期股票仓位越高但是幅度变化不是那么大图8不同缴存资金增量下滑曲线资料来源中泰证券研究所1423请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告下图展示的是缴存金额变化带来曲线的变化根据个养条例目前是12000每年我们设置的三个参数12000200003000可以看出来缴存上限越高股票权重越高和上一个参数一样该参数敏感性不大如果未来政策上有调整这个曲线仍然可以很好的过度到新的曲线上去图9不同缴存资金上限下的下滑曲线资料来源中泰证券研究所下图展示的是债券收益的变化带来下滑曲线的改变比较有意思的现象是该参数的改变给股票权重带来的影响随期限而变在初期债券收益越高股票仓位越高但是到后期债券收益越高债券的仓位越高且变化幅度在后期变大这个是符合直观的因为债券收益高整个组合未来确定收益高可以有更高的安全垫在初期去权益市场博弈到后期权益仓位下降权益给组合带来的收益也下降这时候如果债券收益高的话不如配置更高比例的债券图10不同债券收益的下滑曲线资料来源中泰证券研究所1523请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告最后一个图展示的是股票波动率的变化带来的下滑曲线的变化可以看出股票波动越大股票仓位越低图11不同股票波动率下的下滑曲线股票收益设置为008资料来源中泰证券研究所43关于下滑曲线进一步解释下滑曲线的核心是年轻时期超配风险资产年老时期多配固定收益资产我们下表简单总结下年轻年老不同时期的若干影响风险资产配置的因素表3风险资产配置与年龄超配高风险资产低配高风险资产年轻年老风险爱好者风险规避者没钱现在有钱现在有钱未来没钱未来风险补偿高风险补偿低低风险资产波动高风险资产波动正股债相关性负股债相关性确定性收入不确定收入收入与股票相关度低收入与股票相关度高资料来源中泰证券研究所表格解释1623请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告1关于退休日期和风险资产配置年轻投资者应该在风险资产里面有更大的暴露这个是目标日期基金的核心但是这个观点有很多种版本的解释很多是误解最常见的解释是年轻人风险偏好更高这个说法其实是错误的我们后文的公式推导能够证明即便风险偏好不变年轻时候在风险资产上的暴露也是更多造成这个原因是因为年轻时候会有更多的非金融资产的预期所以在当下会配置更多风险资产即便损失了一部分也可以在未来被劳动收入补偿2风险厌恶资产配置取决于投资者对待风险的态度这个风险厌恶系数决定了多少比例的总资产暴露在风险资产下3当下财富和未来劳动收入当下财富和未来收入相比比较少时候风险资产比例会很高风险资产最优比例是退休到期日期望财富的特定比例未来预期劳动收入越高风险资产占比越高但是这个性质被很多专业投资者忽略很多在计算动态资产配置比例的时候并未特别考虑未来收入的影响这点很重要恰好莫顿模型做了强调这个是基于金融的莫顿模型比纯粹的动态资产配置模型有优势的地方4风险补偿和波动率有更高风险溢价的风险资产会有更高的吸引力当下最优比例也会更高相反波动率越高比例越低5总结本文提出了一个目标日期基金设计的金融学模型模型是以Merton19691971的开创性工作为基础的其中我们引入了定期缴款金额公式推导展示了通过求解二维PDE可以获得风险资产的最优敞口我们说明了风险溢价或风险资产波动性等不同参数的影响风险资产利率和缴存金额对下滑曲线的影响等我们注意到设计目标日期基金需要考虑很多与投资者自身直接相关的因素投资者的退休日期风险厌恶程度和收入预期在投资中这些下滑曲线是在设计目标日期基金时就确定的而且在未来的运作中几乎不会重新计算我们的模型可以从三个方面加以改进首先我们假定退休日期是不变的但引入随机退休日期更贴近现实原因有两点一是我们国家人口老龄化有推迟退休的计划可能会施行灵活退休制度二是五六十岁的个人失业意味着他们可能会减少他们退休前的养老金储蓄其次我们的模型假设退休日是模型的到期日根据这一假设我们忽略了投资者退休后将活多少年以及养老金在个人长寿的情况下是否足够一个更贴近现实的模型是要考虑个人退休后的经济来源最后个人的投资策略没有考虑住房问题这将带来一个问题出租或拥有住宅房地产将如何改变风险资产的最佳风险敞口这些因素的考虑比较复杂牵扯到社会福利层面如果单论目标日期基金这个公募产品的产品设计这个模型是可以胜任的1723请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告附录1理论推导A1最优解求解我们有SSttTBtTStt1022SB---GexpmsuuruWWuuTdsuud-GuTud00B0T2StT是一个对数正态过程可按如下方式编写tt1SS-expms2dusdBStT0TuTuTuTu002S通过构造Bt是一个布朗运动我们有2SBsstTdvartWW-GtttTt22G-srsttTSBttT2dGt这说明2122-stTmmtT--trtst-GtT222-G-mrsttrtTSBttTG同样的我们可以推导出QtT是一个对数正态过程1QQ-expqzz2tBQtT0TtT2tTtTt21823请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告qq-G-Gr2rztTtTttTQBttTzzG-G222rztTttTQBttTSQ令为两个布朗运动Bt和Bt的相关系数它满足如下关系ddSQtTtTrstTztTdt我们还有SBQBrstTztTddtW-G-GstttTdddWWWtztttTt2-G-GGrszrzSQttQBttTrsSBttTtTdt我们可以推导出rszrz-G-GGrs2SQttQBttTSBttTtTr2222srszrzttTSBttTttTQBttTG-22GG-GA2计算HJB方程由以下函数定义txqsupXQqXxtTtTtTa我们可以证明验证了如下的HJB方程Pham2009Prigent2007ttxqmaxatxqa0其中是对应的汉密尔顿函数txqaamtTxpqtxtxqqtTqqtxq11as22x22txqarszxq2txqz2q22txq22tTxtTtTxqtTq最优结果对应1923请务必阅读正文之后的声明部分金融工程报告txqamasxtxq222xtxqatTtTx2rstTztTxqxqtxq0我们可以推导出最优的风险敞口是mrsztxqq2txqa-tTxtTtTxqt22xtxqstTJ此时HJB方程变成了一个二维的偏微分方程tttxqtxqa01从数学角度来看HJB方程9在区间xxqq内求解tT0我们对分配添加一个范围使得--01at对于边界条件我们假设txqUxqqtxq--txqdqxx-22-txqtxqdqtxqtxq和txqtxq考虑到q-0和qqx--g-1xxg-1xxxq2而-和的界限取决于投资者的初始财富和预期未来缴存金额本例中我们取了x-0和x2然后我们使用Hopscotch算法来对HJB方程进行数值求解Kurpiel和Roncalli1999A3关系推导剔除利率和储蓄的不确定性pttp财富的动态变化为ddXSpttaptSXttppp又XXdupattattXX上式变为tutttt1XXppexpam-as22duasdBtuuuuuuu0002又xxgg我们有2023请务必阅读正文之后的声明部分