博弈论基本概念
　　博弈论使用数学模型研究博弈参与者(或称决策者)之间的竞争与合作，博弈论可以应用于政治、经济、社会、生物等诸多领域。博弈论的研究目标是帮助参与者理性决策，以找到决策的最优解、达到收益最大化。
　　每个博弈中要求至少有2个参与者，每个参与者至少有2个决策选项，参与者既可以是单个个体，也可以是单个个体形成的联盟。
　　本文的研究对象不是投资者之间的博弈，因为投资者行为无法定量刻画；本文研究对象是证券之间、证券和市场之间的博弈，例如特定证券和组合希望在博弈中战胜市场。通过计算博弈参与者使用各种策略的概率，相应就得到了组合中的资产权重。
　　接下来我们结合大盘成长、大盘价值、小盘成长、小盘价值4个风格轮动的具体投资问题，对博弈论基本概念做进一步说明。
　　风险提示
　　量化报告的结论基于历史统计规律，当历史规律发生改变时，报告中的模型和结论可能失效。

研究报告全文：仅供机构投资者使用证券研究报告金融工程专题报告组合配置新思路博弈论视角的风格与行业轮动金融工程高级分析师张立宁SACNOS1120520070006金融工程首席分析师杨国平SACNOS11205200700022023年3月5日138624请仔细阅读在本报告尾部的重要法律声明1博弈论基本概念2非合作博弈与纳什均衡3合作博弈与Shapley值4目录实践风格与行业轮动21博弈论基本概念3博弈论基本概念博弈论使用数学模型研究博弈参与者或称决策者之间的竞争与合作博弈论可以应用于政治经济社会生物等诸多领域博弈论的研究目标是帮助参与者理性决策以找到决策的最优解达到收益最大化每个博弈中要求至少有2个参与者每个参与者至少有2个决策选项参与者既可以是单个个体也可以是单个个体形成的联盟本文的研究对象不是投资者之间的博弈因为投资者行为无法定量刻画本文研究对象是证券之间证券和市场之间的博弈例如特定证券和组合希望在博弈中战胜市场通过计算博弈参与者使用各种策略的概率相应就得到了组合中的资产权重接下来我们结合大盘成长大盘价值小盘成长小盘价值4个风格轮动的具体投资问题对博弈论基本概念做进一步说明4博弈论概念与风格轮动博弈论基本概念基本概念解释以风格轮动投资为例合作博弈中大盘风格小盘风格是两个参与者它们通过协作提升联盟的收益参与者player博弈的决策主体非合作博弈中大盘风格与市场基准博弈大盘风格希望战胜市场基准同理小盘风格也会与市场基准进行博弈大盘风格和小盘风格各有两个策略成长或价值例如大盘风格可以使用大盘成长和大盘价值两种策略策略strategy参与者的行动规则市场基准有三个策略牛市熊市震荡市信息参与者在博弈中的知识特如果市场基准知道大盘风格选择的策略那么市场基准有关information别是有关其他参与者的大盘风格的信息就是成长或价值参与者从博弈中获得的收益假设大盘风格选择成长策略市场基准选择牛市策略此时支付函数payoff或效用水平大盘风格相对市场基准的超额收益效用其他度量博弈参与者在某种策略组合假设大盘风格选择成长市场基准选择牛市此时大盘风格结果outcome下产生的结果的收益为1市场基准的收益为-1则1-1就是一个结果均衡博弈达到的稳定状态没有具体可见下文对纳什均衡的介绍equilibrium参与者愿意单独改变策略资料来源华西证券研究所5博弈论中的博弈分类根据不同的分类标准可以将博弈论研究的博弈分为以下几个类型零和博弈ZeroSumGameVS非零和博弈Non-ZeroSumGame零和博弈是指一个参与者的收益与其他参与者的损失负收益相等而在非零和博弈中全部参与者的收益之和并不等于0静态博弈SimultaneousGameVS动态博弈SequentialGame静态博弈是指各个参与者同时行动事先不知道其他参与者的策略动态博弈是指参与者采取的策略有先后顺序可以事先知道其他参与者的行动非合作博弈Non-CooperativeGameVS合作博弈CooperativeGame非合作博弈是指参与者之间存在竞争关系每个参与者独自决策使得自身收益最大化参与者相关之间没有达成协议contract通常所说的博弈一般是指非合作博弈合作博弈是指参与者结成联盟争取联盟效用最大化并在联盟内部进行分配合作博弈一般是非零和博弈6博弈分类博弈分类零和博弈按收益来源非零和博弈静态博弈博弈类型按行动顺序动态博弈非合作博弈按合作协议合作博弈资料来源华西证券研究所7博弈论与投资组合之所以能用博弈论解决投资组合问题是因为两者有相似之处投资者希望自己选择的证券能够战胜市场基准在非合作博弈中也可以将每个具体证券市场基准看做参与者证券希望在博弈中战胜市场基准可将超额收益视为博弈的支付这与相对收益投资相似投资者需要根据投资组合中各证券的贡献分配权重以实现收益最大化在合作博弈中将多个具体证券看做参与者证券之间结成联盟后根据参与者贡献分配权重以实现联盟的最大利益这与绝对收益投资相似在非合作博弈的混合策略纳什均衡中参与者选择具体策略的概率与投资中对具体证券权重的确定也有相似性82非合作博弈与纳什均衡9非合作博弈的核心概念纳什均衡纳什均衡纳什均衡是非合作博弈中的核心概念一个博弈中如果在其他参与者策略确定的情况下每一位参与者当前的策略都是最优的参与者没有动机改变当前策略这个策略组合就被称为纳什均衡NashEquilibrium纳什均衡定义对于名参与者的博弈记策略空间为12参与者的任一策略参与者在博弈中的收益为则在博弈1212中由各个参与者的各一个策略组成的某个策略组合1中任意一名参与者的策略都是对其余参与者策略组合111的最佳对策也即1对任意和任意参与者都成立则称1为的一个纳什均衡纳什均衡的特点1参与者知道对手的策略空间2纳什均衡仅说明参与者在他所掌握的信息下的最佳选择并不代表他能够获得最好的回报10纯策略与混合策略纳什均衡纯策略纳什均衡如果博弈的参与者只能选择一种策略称为纯策略PureStrategy达到的纳什均衡就是纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡并不一定存在在式1中当和只表示单一策略时就是纯策略纳什均衡混合策略纳什均衡如果博弈的参与者可以以某种概率分布随机地选择多个策略称为混合策略MixedStrategy达到的纳什均衡就是混合策略纳什均衡在式1中如果参与者不再只能选择单一策略而是可以在策略空间中以概率分布选择多个策略并且2表示数学期望对任意和任意参与者都成立就是混合策略纳什均衡此时和不再表示单一策略而是以概率分布同时出现的多个策略11纯策略纳什均衡囚徒困境在一个博弈中有2个参与者策略空间为坦白抗拒参与者的收益矩阵为如下参与者参策略坦白抗拒与者坦白3305抗拒5011这个博弈存在纯策略纳什均衡纳什均衡点为均坦白双方收益均为3使用nashpy计算纳什均衡rpsnashpyGamenparray-30-5-1nparray-3-50-1eqslistrpssupportenumeration混合策略纳什均衡点计算结果1010纳什均衡状态下的两个参与者收益rpseqs00eqs01结果-3-312混合策略纳什均衡石头剪刀布在一个博弈中有2个参与者策略空间为石头剪刀布参与者的收益矩阵为如下记为A参与者的收益矩阵为-A参与者策略石头剪刀布参与石头01-1者剪刀-101布1-10这个博弈不存在纯策略纳什均衡因为收益为-1的一方总是能够改变策略以提高收益但是这个博弈存在混合策略纳什均衡参与者以各13的概率使用三种策略使用nashpy计算纳什均衡rpsnashpyGamenparray01-101-11-10eqslistrpssupportenumeration混合策略纳什均衡点计算结果033330333303333033330333303333纳什均衡状态下的两个参与者收益rpseqs00eqs01结果0013混合策略纳什均衡计算达到混合策略纳什均衡时每个参与者自身选择的不同策略具有相同的期望收益在石头-剪刀-布博弈中假定参与者A使用石头剪刀布策略的概率分别为1参与者B使用石头剪刀布策略的概率分别为1策略概率参与者1参与者策略石头剪刀布石头01-1剪刀-1011布1-10参与者A选择策略石头剪刀布的期望收益如下且石头剪刀布有石头0111剪刀1011布1101可以得到1313同理得到1313即参与者以各13的概率使用三种策略143合作博弈与Shapley值15合作博弈基本概念合作博弈是指若干参与者结成联盟共同合作争取联盟效用最大化并在联盟内部进行分配当联盟成立后组成联盟的参与者不再关心自己的利益而是为整个联盟的最大利益而努力我们使用来定义一个合作博弈博弈中共有12个参与者参与者的子集包括空集和全集可以任意结成联盟共有2种组合是联盟的收益也被称为特征函数CharacteristicFunction特征函数的性质空集的特征函数为0即0联盟规模越大特征函数联盟收益越高这一性质被称为超可加性Superadditivity即对任意1N2N12有1212以本文风格轮动投资为例大盘成长小盘价值投资组合可以组成一个联盟这个投资组合的效用可以是收益率或其他度量指标就是它们的特征函数16合作博弈收益的分配合作博弈最大的一个特点是在联盟的收益形成后需要通过协议在参与者之间分配我们接下来重点介绍收益的分配因为在证券投资问题中分配规则也决定了如何确定证券的权重而权重分配是投资策略的最终落脚点对于合作博弈12对每个参与者收益分配结果为实数形成的维向量为1如果满足3则称是联盟的一个分配Allocation式3表明分配有两个特征所有参与者的收益分配之和不能超过全集的收益每个参与者通过联盟获得分配的收益不能低于他自身参与博弈应得的收益即合作的收益不能小于非合作的收益17收益分配中的核心如果一个分配1对于全集的任意子集N都有4则称是分配的核心allocationinthecore分配的核心的含义是对于结成的每个联盟分配方案应该使得联盟所有参与者的收益之和不低于他们形成的联盟的收益分配的核心例A某合作博弈有123共3个参与者特征函数值联盟收益如下表所示联盟特征函数值00000111根据分配的定义分配的核心的定义有1020301022311311231可以得到311020因此分配的核心中只有一个方案12300118合作博弈分配规则Shapley值在例A中参与者3获得了全部收益参与者1参与者2收益为0但是根据特征函数有30即参与者3仅依靠自身无法获得任何收益因此分配方案并不合理LloydShapley给出了另一种收益分配规则称为Shapley值根据Shapley值每个参与者应得的收益与他对联盟的贡献正相关而参与者对联盟的贡献是通过当他在联盟中以及不在联盟中时联盟的收益差距来衡量的令为特征函数值则合作博弈中参与者的Shapley值是从联盟收益到参与者获得分配的映射计算公式为5其中表示联盟中元素的个数为联盟的收益为联盟中剔除参与者之后的收益则表示参与者在他所参与的联盟中做出的贡献联盟1存在的概率为因此参与者获得的分配等于他对各个联盟的边际贡献的概率加权值举例A中3个参与者的Shapley值即分配结果为16162319Shapley值的性质有效性所有参与者的Shapley值之和等于全集联盟的收益即对称性如果对任意两个参与者和以及不含和的联盟有那么有虚拟参与者如果参与者在任何情况下都没有贡献那么其Shapley值为0即如果对全部都有那么0可加性对两个特征函数和有20