本文介绍了Qiao W、Bu D、Gibberd A、Liao Y、Wen T和Li E于2023年发表在Journal of Empirical Finance的文章When “time varying”volatility meets “transaction cost” in portfolio selection。作者提出了一种新的均值-方差投资组合策略，同时考虑了交易成本和协方差矩阵变化问题。新策略仅在检测到协方差矩阵显著变化时重新平衡投资组合，并在重新平衡投资组合以获取收益数据中的最新信息和避免过度交易之间取得最佳权衡。实证结果表明，在考虑交易成本的情况下，新策略构建的投资组合的方差、换手率和夏普比率均具有良好样本外表现。同时表明，绩效增益来自于协方差矩阵预测精度的提高以及具备跟踪协方差矩阵显著变化的能力。
　　文章的主要贡献与结论有：
　　作者提出正则化滚动窗口方法（RRW）来估计协方差矩阵。该方法使用同期估计和滞后估计之间的差异作为惩罚项，从而对标准滚动窗口估计进行正则化，通过利用连续窗口估计之间的时间相似性产生分段恒定估计。因此，惩罚项使得协方差矩阵估计在时间变化方面实现了收缩性和稀疏性，消除了标准滚动窗口分析中嵌入的不必要变化。
　　作者将新的协方差矩阵估计应用于均值-方差投资组合策略。在这一方法下，投资组合每月仅在检测到协方差矩阵显著变化时进行重新平衡，否则投资组合将保持上一个时期的状态。此外，作者从换手率惩罚和贝叶斯投资组合选择视角对新策略进行了两种不同的解释。关于换手率惩罚，作者证明了使用新的协方差矩阵构建的零成本均值-方差投资组合相当于通过使用换手率惩罚实现的样本均值-方差投资组合。关于贝叶斯投资组合选择，作者展示了RRW方法的协方差矩阵估计可以被解释为与资产收益的高斯似然和逆协方差矩阵时变的拉普拉斯先验相关的最大后验贝叶斯估计。
　　作者使用一系列真实数据集展现新的投资组合策略的经济价值。结果显示，在考虑交易成本的情况下，新策略获得了显著且更突出的夏普比率。作者进一步提供了关于新策略产生绩效增益的见解，归因于协方差矩阵预测精度的提高以及具备跟踪协方差矩阵结构性突变的能力。
　　风险提示：本文内容基于作者对海外市场的实证研究，对于中国市场的具体情况，结论可能会发生变化。
　　

研究报告全文：证券研究报告基金研究公募2023年09月19日考虑时变波动率和交易成本的投资组合策略琢璞系列报告本文介绍了QiaoWBuDGibberdALiaoYWenT和LiE于2023年发表在JournalofEmpiricalFinance的文章Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection作者提出了一种新的均值-方差投资组合策略同时考虑了交易成本和协方差矩阵变化问题新策略仅在检测到协方差矩阵显著变化时重新平衡投资组合并在重新平衡投资组合以获取收益数据中的最新信息和避免过度交易之间取得最佳权衡实证结果表明在考虑交易成本的情况下新策略构建的投资组合的方差换手率和夏普比率均具有良好样本外表现同时表明绩效增益来自于协方差矩阵预测精度的提高以及具备跟踪协方差矩阵显著变化的能力文章的主要贡献与结论有作者提出正则化滚动窗口方法RRW来估计协方差矩阵该方法使用同期估计和滞后估计之间的差异作为惩罚项从而对标准滚动窗口估计进行正则化通过利用连续窗口估计之间的时间相似性产生分段恒定估计因此惩罚项使得协方差矩阵估计在时间变化方面实现了收缩性和稀疏性消除了标准滚动窗口分析中嵌入的不必要变化作者将新的协方差矩阵估计应用于均值-方差投资组合策略在这一方法下投资组合每月仅在检测到协方差矩阵显著变化时进行重新平衡否则投资组合将保持上一个时期的状态此外作者从换手率惩罚和贝叶斯投资组合选择视角对新策略进行了两种不同的解释关于换手率惩罚作者证明了使用新的协方差矩阵构建的零成本均值-方差投资组合相当于通过使用换手率惩罚实现的样本均值-方差投资组合关于姚紫薇S1090519080006贝叶斯投资组合选择作者展示了方法的协方差矩阵估计可以RRWyaoziweicmschinacomcn被解释为与资产收益的高斯似然和逆协方差矩阵时变的拉普拉斯先验应绍桦研究助理相关的最大后验贝叶斯估计yingshaohuacmschinacomcn作者使用一系列真实数据集展现新的投资组合策略的经济价值结果显示在考虑交易成本的情况下新策略获得了显著且更突出的夏普比率作者进一步提供了关于新策略产生绩效增益的见解归因于协方差矩阵预测精度的提高以及具备跟踪协方差矩阵结构性突变的能力风险提示本文内容基于作者对海外市场的实证研究对于中国市场的具体情况结论可能会发生变化敬请阅读末页的重要说明基金研究公募正文目录一简介4二经济计量方法61正则化滚动窗口方法62RRW实施方法7三投资组合问题81全局最小方差投资组合82RRW的交易成本解释83贝叶斯投资组合解释104业绩评价指标11四实证结果121数据说明122协方差预测性能133投资组合表现134绩效增益估计准确性和捕捉显著变化的能力165稳健性检验181估计窗口长度182周度收益数据19五结论20图表目录图1标准和正则化滚动窗口方法的比较7图2和随时间变化情况9图3投资组合优化目标函数随经济周期变化曲面图10图4不同方法的协方差矩阵估计与投资组合换手率17表1数据描述性统计13表2不同协方差矩阵样本外预测的MSFE13表3样本外投资组合业绩表现未限制不允许卖空15表4样本外投资组合业绩表现限制不允许卖空16敬请阅读末页的重要说明2基金研究公募表5不同好坏时期的样本外投资组合业绩表现18表6使用更长估计窗口的稳健性检验19表7使用周度收益数据的稳健性检验20敬请阅读末页的重要说明3基金研究公募本文介绍了QiaoWBuDGibberdALiaoYWenT和LiE于2023年发表在JournalofEmpiricalFinance的文章Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection作者提出了一种新的均值-方差投资组合策略同时考虑了交易成本和协方差矩阵变化问题新策略仅在检测到协方差矩阵显著变化时重新平衡投资组合并在重新平衡投资组合以获取收益数据中的最新信息和避免过度交易之间取得最佳权衡实证结果表明在考虑交易成本的情况下新策略构建的投资组合的方差换手率和夏普比率均具有良好样本外表现同时表明绩效增益来自于协方差矩阵预测精度的提高以及具备跟踪协方差矩阵显著变化的能力一简介文章从均值-方差投资者角度出发进行研究他们根据估计的收益条件协方差矩阵变化调整其配置权重这一投资组合策略的目的是为了克服传统的静态资产配置模型所面临市场变化的挑战因此投资者需要根据波动率的动态信息主动调整配置权重然而交易成本的存在使得最优投资组合再平衡成本变得昂贵超过了追踪波动率变化的好处这使得投资者面临一个困境在交易成本和波动率结构性突变同时存在的情况下应该如何构建投资组合为了解决这个问题文章提出了一种新的投资组合策略即使在高维度情况下也能检测到资产收益协方差矩阵中的结构性突变并且仅在检测到协方差矩阵突变时重新平衡投资组合通过与其他替代方案进行比较来检验新策略的实证表现发现新策略能够降低投资组合的风险敞口和换手率同时大大提高了考虑交易成本时投资组合的样本外夏普比率这些结果表明当面临交易成本和波动率结构性突变时投资者可以从协方差矩阵的结构性突变检测中受益同时为了与现有文献联系起来文章从换手率惩罚和贝叶斯投资组合选择视角对新策略进行了两种不同的解释现有文献已存在大量关于减轻交易成本对投资组合配置影响的研究例如Grlranu和Pedersen20132016建议投资者应朝着预期头寸进行部分交易可每天仅向零成本最优目标交易15Kirby和Ostdiek2012通过调节参数调整投资组合权重对波动率变化的敏感性从而控制组合换手率达到所需的较低水平这些策略通过减少交易频率成功地控制了组合换手率但存在一个常见的缺点是使用固定的交易减少率忽略了投资组合风险降低和交易成本增加之间随时间变化的权衡关系直观地说当资产收益波动平稳变化时例如在市场平静期间使用较大的交易减少率可能更合适显著降低交易成本的同时并不会增加太多风险敞口相反在市场震荡期间同样水平的交易减少率可能不合适因为投资组合权重需要更快地调整以适应显著改变的市场环境因此为了更好地实现投资组合风险和交易成本之间的时变权衡需要一种机制来局部检测资产收益协方差矩阵的显著变化然后建议投资者何时需要更新组合权重目前为止研究资产收益波动时变性的经典方法是使用滚动窗口估计例如DeMiguel等2009Kirby和Ostdiek2012Kourtis等2012Goto和Xu2015通过重新加权新的观测值递归估计资产收益的样本协方差矩阵然后可直接对估计的协方差矩阵进行分析以推断新的观测值出现时资产收益的依赖关系结构虽然滚动窗口估计是研究动态变化的有用工具但存在两个主要问题第一窗口长度参数难以选择窗口长度足够长方便进行稳健估计但窗口长度太长可能忽略短期波动第二滚动窗口面临着相邻估计存在突变性的潜在敬请阅读末页的重要说明4基金研究公募问题因为每个滚动窗口的协方差矩阵都是独立进行估计这种额外的可变性可能会影响估计的准确性并大幅增加投资组合换手率为了解决这些问题作者提出正则化滚动窗口方法RRW来估计协方差矩阵该方法使用惩罚项对标准滚动窗口估计进行正则化通过利用连续窗口估计之间的时间相似性产生分段恒定估计换言之该方法使用传统的拟极大似然方法来估计协方差矩阵但是增加了一个约束条件来缩小同期估计和滞后估计之间的差异基于约束条件连续协方差矩阵估计之间的元素差异的总体大小受到惩罚从而产生双重估计效果i如果样本方差低于与RRW优化问题中定义的调节参数相关的约束则协方差矩阵的任何元素的时间变化被设置为零ii如果样本方差大于阈值则协方差矩阵的任何元素的时间变化将按阈值的大小向零减小因此惩罚项使得协方差矩阵估计在时间变化方面实现了收缩性和稀疏性消除了标准滚动窗口分析中嵌入的不必要变化文章提出RRW方法的动机类似于机器学习和统计学中关于时变回归参数稀疏性的最新研究fusedLasso估计Tibshirani等2005该估计在最小二乘线性回归中进行并将连续参数估计中不显著的变化向零趋近文章将这一想法扩展到多元回归中并采用graphicalfusedlasso算法Gibberd和Nelson2017来解决估计问题接着作者将新的协方差矩阵估计应用于均值-方差投资组合策略在这一方法下投资组合每月仅在检测到协方差矩阵显著变化时进行重新平衡否则投资组合将保持上一个时期的状态通过调节参数来控制协方差矩阵突变检测的敏感性并使新策略的换手率与其他投资组合策略保持相同水平例如1N的简单分散化策略为了与现有文献联系起来作者从换手率惩罚和贝叶斯投资组合选择视角对新策略进行了两种不同的解释Hautsch和Voigt2019在投资组合配置中的换手率惩罚和协方差收缩之间建立联系作者证明了使用新的协方差矩阵构建的零成本均值-方差投资组合相当于通过使用换手率惩罚实现的样本均值-方差投资组合其中i换手率由加权二次交易成本进行衡量ii交易成本的权重由标准和正则化滚动窗口估计协方差矩阵之间的差异确定标准和正则化滚动窗口估计协方差矩阵之间的巨大差异意味着实际协方差结构相对稳定因此正则化极大地消除了标准滚动窗口分析产生的不必要变化正则化加权交易成本可以确保对投资组合换手率的惩罚强度是时变的这取决于协方差矩阵的时变大小众所周知时变换手率惩罚在文献中较为新颖因为以前的研究通常采用恒定的调节参数来控制投资组合换手率的惩罚水平例如DeMiguel等2009Olivares-Nadal和DeMiguel2018Engle等2012转到贝叶斯解释贝叶斯投资者经常利用感兴趣参量的有用先验信息作者展示了RRW方法的协方差矩阵估计可以被解释为与资产收益的高斯似然和逆协方差矩阵时变的拉普拉斯先验相关的最大后验MAP贝叶斯估计由此产生的投资组合是由具有协方差矩阵时变先验信念的投资者形成的贝叶斯投资组合他们构建了一个最大化协方差矩阵变化的后验分布的投资组合最后作者使用一系列真实数据集展现新的投资组合策略的经济价值文章评估了使用新的协方差矩阵估计构建均值-方差投资组合的样本外测试业绩表现其中投资组合预期收益率使用样本估计进行测量该样本估计是一个常数因此投资组合权重主要取决于协方差矩阵结构的估计结果发现新策略的表现优于一系列常用的均值-方差投资组合策略包括通过滚动样本估计测量协方差矩阵的标准滚动样本策略1N的简单分散化策略使用指数加权移动平均EWMA等动态模型预测协方差矩阵的投资组合优化策略以及一些最近开发的协方差矩阵估计器和投资组合优化技术例如Ledoit和Wolf2003的线性收缩估计器敬请阅读末页的重要说明5基金研究公募Ledoit和Wolf2017的非线性收缩估计器以及Ao等2018在样本外投资组合风险和换手率控制方面提出的均值-方差投资组合优化技术结果显示在考虑交易成本的情况下新策略获得了显著且更突出的夏普比率作者进一步提供了关于新策略产生绩效增益的见解归因于协方差矩阵预测精度的提高以及具备跟踪协方差矩阵结构性突变的能力文章在方法论和实证方面均有贡献从方法论的角度来看文章的RRW方法涉及使用统计学和机器学习领域开发的收缩技术估计协方差矩阵的新文献其背后的思想是将无偏估计向更低方差或更稳定的目标收缩以便收缩估计可以在错误规范偏差和估计风险之间达到平衡目前为止这些现有的收缩估计主要集中于解决静态单期估计问题例如Goto和Xu2015的稀疏估计将逆协方差矩阵的非对角线元素向零收缩从而减少了投资组合选择中资产的横截面维度或数量Ledoit和Wolf2003以及Chan等1999的估计将样本协方差矩阵收缩为更简洁的目标矩阵例如常数相关矩阵或具有行业因子结构的协方差矩阵文章的RRW估计将收缩思想扩展到动态设置中关注协方差矩阵的时变性因此改进的协方差矩阵估计特别有利于动态投资组合选择此外文章的方法还与估计动态协方差矩阵的文献相联系前面提到的指数加权移动平均模型是协方差矩阵最简单的动态模型最近的两项研究Engle等2019Kastner2019极大丰富了动态协方差矩阵估计的文献与协方差矩阵随时间不断变化的动态模型相比文章的方法对时间变化施加了稀疏性以减少估计中的随机变化这一特性特别有利于降低投资组合配置的交易成本从实证的角度来看文章的研究与Fleming等20012003以及Moreira和Muir2017的文献相联系他们研究了短期均值-方差投资者的投资组合配置而文章通过关注协方差矩阵的离散显著变化而不是连续的小变化改进了这些论文的结果从投资组合配置的角度来看协方差矩阵的结构性突变检测比使用连续的动态模型具有两个优点第一协方差矩阵检测到的变点使投资者能够评估何时需要对投资组合权重进行重大更新从而避免过度交易和相关的巨额交易成本第二变点检测可以更好地反映协方差矩阵中的结构性断点提高投资者在极端市场的择时能力二经济计量方法1正则化滚动窗口方法首先从标准滚动窗口方法开始在每个时间t协方差矩阵通过最小化一个损失函数或负对数似然函数来估计该损失函数使用时间窗口t-1-ht-1的收益观察值进行计算其中h是窗口长度具体来说1其中和分别表示样本和对协方差矩阵的估计每个时间点的协方差矩阵都是通过包含新观测值的滚动窗口来估计在每个时间窗口均独立进行由此存在一个潜在问题相邻时间点的估计可能产生很大的差异这与现实相矛盾特别是在市场相对稳定时期故滚动窗口独立估计引起的额外可变性可能会掩盖协方差矩阵的显著变化敬请阅读末页的重要说明6基金研究公募为了解决上述问题文章提出最小化惩罚损失函数该函数包含了公式1的负对数似然函数以及一个额外的惩罚项用于正则化同期估计和滞后估计之间的差异1其中是前一个估计窗口的滞后估计L1范数定义为用以衡量当前和滞后逆协方差矩阵估计之间的差异是一个调节参数可以控制对差异进行正则化的程度起到软阈值的作用显然当0时即为标准滚动窗口方法新方法将这一特殊情况考虑在内图11提供了关于RRW方法和标准滚动窗口方法之间关系的图形解释正则项1111限制了当前逆协方差矩阵与上一期估计1之间的差异对于非对角线元素如果逆协方差的连续差异低于预先确定的阈值则将差异设置为零如果差异超过阈值则将差异收缩到零因此正则化在协方差矩阵估计的时变性方面实现了稀疏性和收缩性提供了一个暂时稳定的估计器即具有反映矩阵显著变化的能力但对小变化的敏感性较弱图1标准和正则化滚动窗口方法的比较资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券2RRW实施方法接着文章讨论几个与正则化滚动窗口实施相关的问题首先考虑解决方程2的问题惩罚项的结构使得该损失函数是凸的但由于L1范数的存在它不是连续可微的在这种情况下传统的极大似然估计或广义矩估计等优化算法在没有进一步修改的情况下无法采用因此我们使用交替方向乘子法ADMMBoyd等2010来解决优化问题ADMM算法是增广拉格朗日算法的一种形式特别适用于解决此类高度结构化的问题例如Danaher等2013Gibberd和Nelson2017也使用这种方法进行逆协方差矩阵的估计使用RRW方法的第二个主要问题是涉及正则化参数的选择文章采用AIC准则调整参数每个窗口t1T的AIC定义为敬请阅读末页的重要说明7基金研究公募其中是自由度的估计在实践中作者将第一个120个月使用窗口长度1M60作为训练期进而求解使最小化的值同时在整个样本外测试期间仍坚持这一选择三投资组合问题作者基于RRW的协方差矩阵估计开发一种新的波动率择时策略为了更好地理解新策略的动机作者依次从换手率惩罚的投资组合选择和贝叶斯投资组合选择两个角度提供了不同的解释在本节中作者还介绍了几种常用的均值-方差策略和业绩指标后续将用来评估RRW投资组合表现1全局最小方差投资组合考虑风险厌恶投资者的均值-方差组合策略假设该投资者将财富分配给N个风险资产以及1个无风险资产投资者使用条件均值方差模型进行配置决策并每月重新平衡其投资组合用1表示N个风险资产的收益率向量1表示期望收益率11表示1的条件协方差矩阵对于每个时间t计算给定预期收益率前提下最小化条件波动率即解决以下二次规划问题其中是N1的风险资产权重向量是无风险资产的收益率是目标期望收益率该优化问题的解为其中给出了风险资产的权重而无风险资产的权重为11公式5隐含的交易策略确定了动态再平衡投资组合该投资组合具有全局最小方差GMV作者遵循Ledoit和Wolf2017的方法估计GMV投资组合因为这种方法在评估协方差矩阵估计质量时简洁明了能够避免同时估计预期收益向量的问题2RRW的交易成本解释Hautsch和Voigt2019探索了投资组合的换手惩罚与协方差收缩之间的关系具体来说研究表明具有二次交易成本的优化问题可以解释为经典的无交易成本均值-方差问题但是协方差矩阵被正则化为单位矩阵基于这一思路作者展示了如何使用基于RRW的无交易成本协方差矩阵估计实现最佳的最小方差MV投资组合这与具有时变二次交易成本的最小方差投资组合优化问题有关其中时间依赖性由正则化协方差矩阵和样本协方差矩阵之间的差异决定性质1RRW等价于交易成本惩罚RRW方法得到的协方差矩阵来自以下优化问题敬请阅读末页的重要说明8基金研究公募其中max是1的对偶范数作者证明了RRW协方差矩阵估计可以表示为样本协方差估计加上额外差异的形式将RRW协方差矩阵估计代入经典的均值-方差投资组合优化问题中投资组合配置权重1可以表示为其中211直观上RRW估计通过一个额外的矩阵正则化样本估计并以作为收缩参数需要注意的是RRW估计的正则化效果与Ledoit和Wolf2003提出的收缩方法有一些相似之处但RRW方法用时变的代替了Ledoit和Wolf估计的单位矩阵因此使用RRW估计得到的零成本均值-方差投资组合等同于交易成本随时间变化的惩罚组合图2给出了随时间变化的例子并根据NBER商业周期分类用灰色标注衰退时期显然与恒等矩阵相反该图显示了随时间变化并在衰退时期达到峰值图2和随时间变化情况资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券为了进一步说明随时间变化的交易成本惩罚对投资组合优化的影响图3绘制了随时间变化的和传统常数二次交易成本惩罚下的均值-方差优化函数曲面图图的下方还提供了第一个资产配置1的最优解同样用灰色标注NBER定义的衰退期可以观察到在大多数情况下使用随时间变化的交易成本惩罚的函数曲面左上方的面板比使用常数惩罚的函数曲面右上方的面板更加稳定同时也能够反映衰退期市场状况突变的能力例如在2008年危机期间观察到函数曲面存在峰值下方的1时间序列图进一步证实了这些发现综上所述RRW协方差矩阵估计得到的随时间变化的交易成本惩罚有助于对交易成本施加市场条件相关的正则化帮助投资者更好地把握市场时机并在投资组合风险暴露和换手之间实现更好的平衡敬请阅读末页的重要说明9基金研究公募图3投资组合优化目标函数随经济周期变化曲面图资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券3贝叶斯投资组合解释Kyung等2010以及Wang2012分别为通过lassoTibshirani1996和graphicallassoFriedman等2008给出了正则化回归的贝叶斯解释由于这些估计与RRW优化问题密切相关可以遵循他们的推理方式为RRW协方差矩阵估计以及由此得出的投资组合提供贝叶斯解释假设1基于历史的估计协方差股票未来收益服从正态分布即并且1即收益率序列不存在自相关关系假设2假设投资者具有先验信念逆协方差可随时间推移在某些时点发生变化具体而言假设时变的逆协方差遵循拉普拉斯双指数分布即其中2exp为双指数密度函数形式exp10为指数密度函数形式为归一化常数10为示性函数在文章中用于表示的正定矩阵空间性质2若假设1和假设2同时成立并且在公式8中假设则可以将公式2的RRW估计解释为t1时期的逆协方差的最大后验估计MAP具体而言假设投资者认为逆协方差矩阵时变性具有上述先验分布存在一个阈值参数使得RRW估计是后验分布的众数至此在现有框架下给定投资者对逆协方差矩阵时变性的先验分布和观察到的资产收益数据选择最大化逆协方差矩阵变化的后验分布的投资组合可以确保投资者选择具有最高概率成为最小方差投资组合的配置这一解释与传统的贝叶斯投资组合选择文献略有不同传统的贝叶斯投资者要么选择最大化股票收益的后验分布的预期效用投资组合Jorion1986要么直接选择最大化敬请阅读末页的重要说明10基金研究公募投资组合权重的后验分布的投资组合DeMiguel等2009Tu和Zhou2010在作者的框架中投资者对逆协方差矩阵时变性具有先验信念而不是对资产收益分布或投资组合权重有先验信念因此投资者选择最大化逆协方差矩阵变化的后验分布的投资组合4业绩评价指标为了衡量新方法的经济价值作者使用一系列业绩评价指标将其与其他几种GMV策略表现进行比较首先比较使用不同协方差矩阵估计方法构建的GMV策略估计协方差矩阵主要有两种方法基于结构的估计和无结构的估计从无结构的估计方法开始包括标准滚动窗口协方差估计相应的GMV投资组合被称为Chan等1999DeMiguel等2009Kirby和Ostdiek2012Kourtis等2012Goto和Xu2015为了进一步减少样本协方差矩阵的估计误差可使用了样本协方差估计的收缩版本Ledoit和Wolf2003该估计方法将样本估计向单位矩阵收缩相应的GMV投资组合被称为作者还考虑了一种更先进的非线性协方差收缩估计Ledoit和Wolf2017进行比较构建的GMV投资组合被表示为此外作者还使用了稳健协方差估计最小协方差行列式Rousseeuw1984构建的GMV投资组合被称为同时使用公式1收缩的样本估计生成RRW方法的对应策略得到的GMV投资组合定义为第二作者考虑使用基于结构的协方差估计的GMV投资组合策略从使用动态模型的协方差预测的GMV投资组合出发例如指数加权移动平均模型Zakamulin2015得到的投资组合记为这种估计协方差矩阵方法由RiskMetrics小组推广Zakamulin2015也发现简单的EWMA协方差矩阵预测与多元GARCH预测的效果相当在这种方法中指数加权协方差矩阵是使用以下递归形式进行估计其中01且为衰减常数1为残差项作者遵循RiskMetrics小组的建议使用097来估计EWMA协方差矩阵这种比较有助于检验投资者是否从协方差矩阵的稀疏变化而非连续变化的假设中受益第三考虑简单的1N策略记为简单的1N策略表现出良好的样本外表现在实践中很难被击败特别是在存在高交易成本的情况下作者将其作为比较基准以检查新方法在控制交易成本方面的能力此外作者考虑了Ao等2018提出的一种替代的均值-方差投资组合优化技术该技术结合高维稀疏回归方法使用均值-方差优化问题的无约束回归表示得到的投资组合被表示为接着作者从以下几个方面评价投资组合的样本外表现第一从风险暴露和换手率角度评价样本外表现投资组合的风险暴露通过样本外投资组合收益的方差进行衡量而投资组合的换手率通过以下方式来计算其中1和分别表示资产i在第t期和第t1期的投资权重再平衡之后是在t1期之前再平衡的投资权重所定义的换手率可以解释为每个时期交易的平均资产占比最后作者通过计算扣除交易成本后的夏普比率评估新策略是否具有经济收益按照Robert等2012的方法每个时期扣除交易成本后敬请阅读末页的重要说明11基金研究公募的投资组合收益的计算公式如下其中是衡量资产交易一美元的成本费用是t时期未扣除交易成本的投资组合收益作者遵循Robert等2012的方法设置1967年至1990年将其从06线性减少到011991年至2017年设置为恒定的01因此扣除交易成本后的夏普比率计算公式为其中是样本外测试期间扣除交易成本后投资组合收益的标准差四实证结果1数据说明文章主要使用两个数据集第一个数据来自于KenFrench网站包括按规模和账面市值比分组排序的25个价值加权股票组合的收益率记为25FF48个行业的价值加权股票组合的收益率记为48Ind按规模和账面市值比形成的100个股票组合的收益率记为100SBM按规模和盈利能力形成的100个股票组合的收益率记为100SOP以及按规模和投资能力形成的100个股票组合的收益率记为100SI另外作者从KenFrench网站下载1967年到2017年的收盘价数据计算收益率第二个数据集是来自于证券价格研究中心CRSP的股票数据作者遵循Ledoit和Wolf2017的方法依次考虑以下投资组合N3050100250500该范围涵盖了从道琼斯工业平均指数到标准普尔500指数的大多数重要股票指数作者首先选择第t期市值靠前的500只股票并且要求这些股票在过去的T250天内以及在未来的21天内具有完整的收益数据在这500只股票中作者随机选择N只股票构建持有21天的投资组合相应的投资组合标记为IndN表1汇总了每个数据集的样本信息并给出了真实数据是否支持协方差矩阵稀疏变化这一假设第8和第9列分别报告了在每个数据集中AIC准则选择的最佳值以及整个样本期内连续协方差矩阵估计未改变对角线元素的平均百分比后者衡量协方差矩阵时变的稀疏程度结果显示在这些数据集中稀疏程度范围从3578到2355不等这意味着在连续时间段内协方差矩阵中的一部分元素没有发生显著变化因此协方差矩阵稀疏变化假设在实践中是合理的敬请阅读末页的重要说明12基金研究公募表1数据描述性统计资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券2协方差预测性能本节作者通过直接评估不同协方差矩阵预测准确性来评价预测性能通过对月度协方差矩阵的样本外预测效果比较不同方法的表现即根据t-1月末可用的信息对月份t的协方差矩阵进行预测具体是使用60个月回溯期的滚动窗口估计方法进行预测作者遵循Zakamulin2015的方法使用以下定义的均方预测误差MSFE评估协方差矩阵预测的准确性其中和分别表示月份t的实现协方差矩阵和预测协方差矩阵SFE表示预测误差MSFE表示均方预测误差M是样本外评估期间的月份数表2报告了不同协方差矩阵预测方法对每个数据集的MSFE结果表明i基于滚动窗口的样本协方差方法和基于滚动窗口的收缩样本协方差方法的预测准确性几乎相同这个发现与Disatnik和Benninga2007以及Zakamulin2015的结论一致即线性收缩不会显著提高协方差矩阵的预测ii非线性收缩方法大大降低了预测误差其次是稳健协方差估计方法iii动态模型EWMA在协方差矩阵预测方面表现最好RRW方法在大多数情况下与EWMA表现相似表2不同协方差矩阵样本外预测的MSFE资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券3投资组合表现本节作者主要评估投资组合的样本外表现重点关注五个投资组合数据集25FF48Ind100SBM100SOP和100SI在每个月份使用过去M60个月5年的股票收益率构建GMV投资组合持有1个月并计算投资组合业绩敬请阅读末页的重要说明13基金研究公募首先分析文章所提出的投资组合降低样本外风险的能力第一构建和其他七个GMV投资组合的样本外收益序列第二比较样本外收益方差以检验是否能够降低样本外风险第三使用Politis和Romano1994的静态抽样stationarybootstrap检验和其他替代策略之间差异的显著性表3的面板A报告了每个GMV投资组合策略的月度样本外风险并给出了差异的显著性检验结果从表中可以看到i与标准样本投资组合相比文章提出的投资组合显著降低了样本外风险表明正则化提高了滚动样本估计对协方差矩阵突变检测的能力从而通过更好地控制投资组合风险敞口来改善投资组合业绩表现例如对于25FF投资组合风险从276292降至137072对于48IND投资组合风险从2653352降至131572ii与其他无结构协方差估计的投资组合相比例如线性协方差收缩估计非线性协方差收缩估计稳健协方差估计RRW协方差估计在所有情况下仍然能够降低投资组合风险进一步论证了利用协方差矩阵的显著变化来构建投资组合的好处iii与简单的1N策略相比投资组合仍然实现了更低的风险这意味着跟踪方差变化有利于降低投资组合的样本外风险iv与使用EWMA模型进行协方差矩阵预测构建的投资组合相比投资组合再次实现了更低的风险例如25FF48IND等这一结果证明了协方差矩阵稀疏变化而不是连续变化有利于降低投资组合的样本外风险v与Sparreg投资组合相比当投资组合维度相对较小时实现了更低的风险在维度大于100的大型投资组合中表现相似接着研究RRW策略控制投资组合换手率的能力表3的面板B展示了根据公式10计算的投资组合月度换手率可以观察到对于所有数据集等权重的1N投资组合的换手率最低只需少量交易来维持等权重配置相反等其他GMV投资组合策略总是需要较高换手率因为需要积极交易以适应变化的协方差矩阵从而实现最佳的风险分散文章提出的策略显著降低了投资组合的换手率即使与先进的协方差估计和优化技术和Sparreg的投资组合相比也是如此在投资组合换手率控制方面的优秀表现验证了RRW方法提供了更稳定的协方差矩阵估计值从而显著降低了投资组合换手率和相关的交易成本最后评估RRW策略扣除交易成本后的夏普比率表现遵循Robert等2012的做法设置每美元的交易成本1967年至1990年将其从06线性减少到011991年至2017年设置为恒定的01根据表3的面板C可以观察到其他所有策略相比投资组合在所有数据集中保持最高的夏普比率扣除交易成本后的投资组合的夏普比率范围在0212至0289之间其次是Sparreg投资组合敬请阅读末页的重要说明14基金研究公募表3样本外投资组合业绩表现未限制不允许卖空资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券文章还进行了基于个别资产的投资组合分析从CRSP股票中随机选择500个样本并从中随机选择N只股票来构建投资组合其中N3050100250500表3显示在所有情况下投资组合的样本外风险比其他策略更低进一步证明了能够显著降低样本外风险进而观察投资组合的换手率在所有情况下投资组合的换手率最低在扣除交易成本后的夏普比率方面发现在所有数据集中实现了最高的扣除交易成本后的夏普比率以上结果再次表明RRW估计为具有相对稳定协方差矩阵结构的面板样本提供了更大的经济收益由于一些基金经理面临无法卖空的限制文章对所有投资组合的配置权重施加下限为零的限制结果如表4所示除了表现更好之外不同投资组合在业绩评价指标的排名非常相似这一发现与Jagannathan和Ma2003的研究一致他们从理论上证明了在估计全局最小方差投资组合的背景下施加不允许卖空限制相当于隐式收缩样本协方差矩阵敬请阅读末页的重要说明15基金研究公募表4样本外投资组合业绩表现限制不允许卖空资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券4绩效增益估计准确性和捕捉显著变化的能力前文研究发现RRW估计在GMV策略中存在额外的经济收益本节试图回答这些收益来自哪里的问题主要从两个方面解释RRW估计的优势估计准确性和捕捉显著变化的能力首先作者将更好的投资组合表现归因于改进的协方差矩阵预测文章比较了基于RRW方法的协方差矩阵估计的预测准确性并使用以下对数预测似然函数对比其与收缩的滚动样本估计和EWMA模型之间的预测效果其中T是样本外测试的总期数表示第t期去均值后的收益向量1表示在t-1期计算得到的第t期的协方差矩阵估计值在整个样本外测试期间计算111的平均值11通过计算每个协方差矩阵估计的样本外对数预测似然函数测试RRW估计与其他策略之间差异的显著性表2展示了测试结果第2列显示在所有数据集中RRW估计的预测似然比收缩的滚动样本估计明显更高即在滚动窗口方法中施加时间相似性正则化可降低协方差矩阵预测误差第4列显示RRW估计优于EWMA估计表明允许分段稳定性有助于提高样本外协方差矩阵的预测精度总体而言这些结果证实了RRW方法提高了协方差矩阵的预测精度从而导致更好的样本外投资组合业绩接着作者展示了RRW方法在捕捉协方差矩阵显著变化方面的优势图4上方敬请阅读末页的重要说明16基金研究公募绘制了RRW实线和收缩样本虚线协方差矩阵估计随时间变化情况通过估计的协方差结构的迹进行衡量根据NBER商业周期分类用灰色标注衰退时期显然在平静期间例如2002年至2007年RRW估计比收缩样本估计更加稳定但在衰退期间例如2008年至2010年的全球金融危机时RRW估计并不会失去反应显著变化的能力图4不同方法的的协方差矩阵估计与投资组合换手率资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券注RRW方法的结果用实线表示收缩样本方法的结果用虚线表示为了进一步说明这一点作者根据NBER商业周期分类将整个样本划分为好和坏的经济时期然后比较RRW策略与其他策略的样本外投资组合换手率和风险暴露情况结果如表5所示如果RRW策略具有更好的捕捉显著变化的能力期待它在坏的时期允许更积极的投资组合权重从而与1N策略相比的换手率会更高相反在好的时期相对于收缩样本滚动策略期待RRW策略对协方差矩阵变化有更保守的反应从而导致更低的换手率从表5报告的投资组合换手率来看在好的时期投资组合的换手率与1N投资组合接近均远低于的换手率例如对于25FF投资组合的换手率仅为0019接近于1N投资组合的0017远低于的0047另一方面在坏的时期投资组合的换手率大幅增加至1033但1N投资组合的换手率仅略微增加至0018相比之下投资组合的换手率始终更高在坏的时期也在增加图4下方绘制了RRW实线和收缩样本虚线策略的投资组合换手率随商业周期变化的情况RRW策略始终提供更低的投资组合换手率但在市场处于困境时合理地增加了换手率作者还测试了在好的时期和坏的时期第二优估计与RRW估计之间差异的显著性结果发现RRW估计实现的改进在坏的时期更为显著作者进一步检验了不同策略的投资组合风险以及更好的捕捉显著变化的能力是否有助于控制投资组合风险敞口结果显示始终保持最低的风险1N策略在好的时期的风险低于样本策略而在坏的时期则相反总之RRW协方差估计具有强大的捕捉显著变化的能力构建的投资组合在换手率和风险敞口之间取得更好的平衡敬请阅读末页的重要说明17基金研究公募表5不同好坏时期的样本外投资组合业绩表现资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券5稳健性检验1估计窗口长度在某种程度上有人可能会认为RRW估计使用了比其他评估样本外投资组合表现更长的估计窗口这使得难以评估RRW方法相对于其他方法的绩效增益是来自于特定的正则化还是来自于使用更长的样本文章通过对其他方法使用更长估计窗口例如M120个月的标准滚动窗口方法来回答这个问题结果如表6所示可以发现i所有方法的业绩均随着更长的估计窗口而提高这一结果并不令人意外因为更长的观察样本提供了更多的历史信息有助于实现更稳健的估计iiRRW估计仍然优于所有其他方法证实了通过时间相似度正则化进而利用两个连续估计窗口之间相似性的好处即时间稳定估计大大减少了标敬请阅读末页的重要说明18基金研究公募准滚动窗口方法由于估计误差引起的虚假时间变化因此RRW估计产生的投资组合表现出更稳定的样本外表现表6使用更长估计窗口的稳健性检验资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券2周度收益数据在基准分析中使用的是月度股票收益率数据作者进一步评估不同投资组合基于周度收益数据的表现以检测结果是否对收益数据频率具有稳健性表7报告了投资组合的业绩表现发现使用周度收益数据通常仍具有稳健性例如即使使用周度收益数据文章提出的正则化投资组合5通常也优于其他替代策略当比较投资组合在月度和周度收益数据上的业绩表现时发现投资组合在月度数据上表现略好于在周度数据上的表现作者认为是因为频繁调整对冲交易的好处被更高的交易成本所抵消敬请阅读末页的重要说明19基金研究公募表7使用周度收益数据的稳健性检验资料来源Whentimevaryingvolatilitymeetstransactioncostinportfolioselection招商证券五结论文章提出了一种正则化滚动窗口方法来估计时变协方差矩阵并构建了新的最小方差投资组合通过对标准滚动窗口样本估计施加时间变化约束这种新方法既简单又易于解释同时也为协方差矩阵提供了更优的样本外预测并且能够检测协方差矩阵的显著变化实证结果表明存在协方差矩阵结构性变化和交易成本的情况下基于正则化滚动窗口方法估计协方差矩阵所构建的最小方差投资组合同时实现了更低的风险敞口和更低的换手率与其他常用的替代策略相比获得了显著的经济收益这些结果支持了最初的研究动机在存在交易成本的情况下投资者可以从波动率的突变检测中受益敬请阅读末页的重要说明20